FUNCIÓN CUADRÁTICA
¿Qué
es una función cuadrática?
Una función
cuadrática, es aquella que puede escribirse como una ecuación de la
forma:
F(x) = ax2 +
bx + c
Donde a, b y c (llamados términos), son números reales cuales quiera
y el término “a” es distinto de cero (puede ser mayor o menor que
cero, pero no igual a cero). El valor de “b” y de “c” sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos
tiene un nombre.
“ax2” es el término cuadrático.
“Bx” es el término lineal.
“C” es el término independiente.
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los
términos se dice que es una ecuación
completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el
independiente se dice que la ecuación es incompleta.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Si pudiésemos representar en una gráfica
"todos" los puntos de una función cuadrática, obtendríamos
siempre una curva llamada parábola.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica
de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o
elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la
generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y
hablamos de parábola convexa si
sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el
valor (el signo) que tenga el término cuadrático (ax2):
Si a > 0 (positivo) la
parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 −
3x − 5
Si a < 0 (negativo) la
parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 +
2x + 3
Además, cuanto mayor sea
|a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola. En Puntos de corte en
el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento fundamental para
graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera” x”,
los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de
cualquier función cuadrática calculamos, F (x) = 0.
Esto
significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores
de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x
tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de
primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las
ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación
cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje
de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres
casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al
eje x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando
el discriminante, ya visto en las ecuaciones cuadráticas.
Punto de corte en el eje de
las ordenadas (eje de las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es
cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca
el valor de c (0, c).
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su
eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una
recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente
la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que
refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2
son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la
parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje
de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice
de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de
simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría
y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo
de la función,
según sea la orientación de la parábola (recuerde
el discriminante)
En resumen hallamos los siguientes puntos notables que nos permiten graficar:
I. (1,0) Raíz
II.
(-3,0)Raíz
III.
(-1,4) Vértice
IV.
(0,3) Término independiente
V.
(-2,3) Simétrico del TI.
Ahora si graficamos:
